Wiskunde OpenAI claimt een van de grootste wiskundige raadsels te hebben opgelost. Het gaat om het Navier-Stokesprobleem, dat door tienduizend samenwerkende ‘agents’ is gekraakt. Zorgen zijn er ook.
Turbulentie bij de uitlaat van een straalmotor. Zulke verschijnselen worden beschreven met Navier-Stokesvergelijkingen.
Het is zover: kunstmatige intelligentie heeft de hoogste toppen van de wiskunde bereikt – terrein dat lang werd beschouwd als het exclusieve domein van het menselijk denkvermogen. Op 8 september zei OpenAI, het bedrijf achter ChatGPT, een van de zes nog openstaande ‘millenniumproblemen’ te hebben opgelost. Het resultaat lijkt correct te zijn. Het is daarmee met afstand het belangrijkste wiskundige bewijs dat tot nu toe door AI is geleverd. OpenAI gebruikte een nieuw model, dat nog niet beschikbaar is voor het publiek.
In het jaar 2000 presenteerde het Clay Mathematics Institute zeven grote, onopgeloste wiskundige problemen, als wegwijzer voor de wiskunde van de eenentwintigste eeuw. Het instituut loofde een beloning van één miljoen dollar uit voor elk opgelost probleem. Het Poincaré-vermoeden, een vraagstuk uit de topologie, werd aan het begin van deze eeuw bewezen.
Het probleem dat OpenAI nu claimt te hebben gekraakt, draait om differentiaalvergelijkingen. Dat zijn formules die relaties tussen veranderende grootheden uitdrukken. Ze behoren tot de belangrijkste wiskundige instrumenten om de wereld om ons heen te verklaren. Zulke vergelijkingen zijn eenvoudig op te stellen, maar vaak moeilijk exact op te lossen.
Dat geldt in het bijzonder voor de Navier-Stokesvergelijkingen. Deze formules, halverwege de negentiende eeuw opgesteld, beschrijven hoe vloeistoffen en gassen bewegen. Denk aan het ontstaan van turbulentie: de chaotische, wervelende beweging in een onregelmatige stroming. Hoewel de vergelijkingen al decennialang worden gebruikt – van vliegtuigontwerpen tot meteorologie – is het niet bekend of hun wiskundige oplossingen altijd betrouwbaar zijn.
Het millenniumprobleem vraagt níét naar exacte oplossingen van de Navier-Stokesvergelijkingen. Er is nooit bewezen dat er überhaupt onder álle omstandigheden een ‘nette’, vloeiende oplossing bestaat zonder dat de wiskunde ‘explodeert’ naar oneindig. De miljoendollarvraag van het Clay Mathematics Institute gaat over het al dan niet bestaan van altijd betrouwbare oplossingen: bewijs dat die inderdaad bestaan, óf bewijs dat er omstandigheden zijn waaronder een stromingsoplossing na verloop van tijd ‘explodeert’ en daarmee ongeldig is.
De afgelopen jaren wezen diverse deelresultaten al in de richting van dat tweede scenario. Dat is wat OpenAI nu heeft bewezen. De AI beschreef een wiskundige wervelwind die onder specifieke omstandigheden binnen een eindige tijd een oneindige snelheid bereikt. Zoiets komt in werkelijkheid niet voor: een bewegingssnelheid kan weliswaar groot worden, maar blijft wel eindig. Het betekent dat de Navier-Stokesvergelijkingen niet universeel betrouwbaar zijn om stromingen te modelleren.
In plaats van één superslimme AI te laten nadenken, zette OpenAI een gigantisch virtueel netwerk op van zo’n 10.000 samenwerkende AI-agents. Een AI-agent is een autonoom systeem dat zelfstandig taken kan uitvoeren: een complex probleem opsplitsen in stappen, online beschikbare informatie raadplegen, code schrijven en uitvoeren, en eigen werk controleren en bijsturen totdat het einddoel bereikt is. De samenwerkende AI-agents kun je zien als een digitaal onderzoeksinstituut waarin 10.000 wetenschappers dag en nacht samenwerken, ideeën uitwisselen en elkaars werk controleren, maar dan op de snelheid van computerchips.
Het Navier-Stokes-probleem werd opgedeeld in duizenden kleine puzzelstukken. Sommige agents richtten zich op specifieke randvoorwaarden, andere op het verifiëren van tussenstappen. Zodra een agent ‘dacht’ een goede stap te hebben gezet, stuurde hij deze naar een ‘reviewer-agent’. Liep een spoor dood, dan werd dat direct aan het hele netwerk gemeld om dubbel werk te voorkomen. In totaal verstuurden de agents zo’n 2,7 miljoen berichten naar elkaar. Na 88 uur was de klus geklaard. Het resultaat: een wetenschappelijk artikel van 166 pagina’s, volgepakt met wiskundige formules, inclusief referenties naar eerder werk.
Om eventuele fouten uit te sluiten, werd het bewijs vervolgens vertaald naar Lean, een formele programmeertaal voor wiskundige verificatie. Daartoe moest het bewijs wel worden geschreven in een taal die voor Lean te begrijpen is. Was dat tot voor kort nog tijdrovend handwerk, ook dat is nu aan machines uitbesteed. Na 17 uur gaf Lean aan geen hobbels in de redenering te hebben gevonden.
Barry Koren is emeritus hoogleraar wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven en heeft jarenlang onderzoek naar Navier-Stokes gedaan. Hij laat per mail weten „stukjes” van het OpenAI-artikel te hebben gelezen en noemt die „te begrijpen”. Volgens Koren is de geconstrueerde oplossing voor fysici en ingenieurs praktisch niet zo relevant, omdat de oplossing vanuit fysisch perspectief ongeldig is: „De oneindig grote snelheden treden op op oneindig kleine lengteschalen, nog kleiner dan de moleculaire of atomaire lengteschalen van de vloeistof.” Maar vanuit wiskundig perspectief, het perspectief van het millenniumprobleem, bevindt de oplossing zich wel degelijk „in geldig gebied”.
In een blogpost schrijven de OpenAI-onderzoekers: „Een belangrijk doel van ons werk is wetenschappers in staat te stellen onderzoek en technologie te ontwikkelen die de hele mensheid ten goede komen.” Veel wiskundigen bekijken de doorbraak echter met gemengde gevoelens. Ze menen dat de duizelingwekkende snelheid waarmee AI het vakgebied binnenstormt, hun vakgebied kan schaden.
Wiskunde op dit niveau bewoog altijd heel langzaam. Ideeën hadden jaren nodig om te rijpen. Een kleine bijdrage aan een groot probleem was voldoende om erop te promoveren. Wat mensen altijd generaties heeft gekost aan denkwerk, wordt nu door een zwerm AI-agents teruggebracht tot een week. Een veel gedeelde zorg onder wiskundigen is wat er dan nog over blijft van het menselijk begrip.
Verder spelen er morele dilemma’s. OpenAI strijkt met de eer, maar welke data zijn er gebruikt? AI-systemen kunnen voortbouwen op belangrijke doorbraken die eerder door topwiskundigen zijn bereikt. De aankondiging van OpenAI kwam opvallend kort nadat wiskundigen Tristan Buckmaster (New York University) en Levent Alpöge (Anthropic) bekendmaakten dat zij nauw verwante problemen hadden opgelost met behulp van diverse AI-modellen.
Hadden de agents van OpenAI toegang tot het werk van Buckmaster en Alpöge? Daarover woedt op dit moment een felle discussie. OpenAI erkent dat hun Navier-Stokesproject werd geïnspireerd door „geruchten” over het werk van het duo. Ze ontkennen echter hun resultaten gebruikt te hebben: „Wij (de onderzoekers en de agents) hebben hun werk op geen enkele manier ingezien totdat zij het publiekelijk publiceerden”, schrijven ze. Ze sluiten echter niet uit dat hun gebruiksgegevens zijn verwerkt in de training van het nieuwe OpenAI-model.
Buckmaster wijst er daarnaast op dat de echte helden niet in San Francisco zitten, maar in Madrid. De wiskundigen Diego Córdoba (Instituto de Ciencias Matemáticas) en Luis Martínez-Zoroa (CUNEF Universidad) ontwikkelden de afgelopen jaren, zónder kunstmatige intelligentie, een nieuwe strategie die cruciaal bleek om het Navier-Stokesprobleem aan te pakken. Volgens Buckmaster zijn het hún menselijke ideeën die het succes van OpenAI mogelijk hebben gemaakt. „Ik geloof dat Luis Martínez-Zoroa een Fieldsmedaille verdient”, schreef hij in een verklaring.
En het prijzengeld van een miljoen dollar? Het Clay Mathematics Institute heeft het bewijs nog niet goedgekeurd, maar los daarvan: OpenAI hoeft de geldsom niet te hebben. Voor een miljardenbedrijf is een miljoen ook slechts een fooi – zeker als je bedenkt dat de geschatte rekenkosten voor dit ene wiskundige project tussen de 10 en 22,5 miljoen dollar lagen.
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin