Wiskunde Vier wiskundigen krijgen dit jaar een Fieldsmedaille – vergelijkbaar met een Nobelprijs. Jacob Tsimerman (38) is een van hen. In zijn onderzoek komen diepe vragen samen over getallen, symmetrie en meetkundige structuren.
Jacob Tsimerman
Op een middag in 2007 speelde de toen negentienjarige Jacob Tsimerman een potje Phutball op de wiskundefaculteit van Princeton University. Dat deed hij met John Conway, de charismatische wiskundige en bedenker van Phutball – kort voor Philosopher’s Football. Een bal wordt er niet bij gebruikt; het is een strategisch bordspel dat wordt gespeeld op een rooster met zwarte en witte stenen.
Tsimerman verloor van de grote meester, maar een revanche volgde. Tsimerman moest en zou nog een potje spelen, al had hij daar eigenlijk geen tijd voor: als jonge promovendus werd hij verwacht bij een seminar dat zou beginnen. De revanche pakte gunstig uit voor Tsimerman: ditmaal won hij. „Maar hij is nu wel vijftien minuten te laat bij het seminar”, gniffelde Conway. „Dat is mijn echte doel met deze spellen: het ruïneren van al die veelbelovende jonge talenten.”
Conway bedoelde dit uiteraard ironisch. Het talent van Tsimerman was al vroeg onbetwist. Als scholier deed hij twee keer mee aan de Internationale Wiskunde Olympiade; beide keren won hij een gouden medaille. Bij zijn tweede deelname, in 2004, had hij zelfs een perfecte score: 42 van de 42 punten, al kostte het de jury extreem veel moeite zijn handschrift te ontcijferen. Bij het schrijven van x+t produceerde Tsimerman drie identieke symbolen.
Afgezien van het handschrift waren de oplossingen die Tsimerman inleverde van een ongekende precisie. Geen halve redeneringen, geen ‘bijna-oplossingen’, maar volledig gesloten bewijzen. Tsimermans olympiade-prestatie was een vroeg signaal van zijn stijl: extreme nauwkeurigheid en bereidheid om lang te blijven schaven tot een argument echt sluit.
Tegenwoordig is Tsimerman hoogleraar wiskunde aan de universiteit van Toronto, in Canada. De onderwerpen waar hij aan werkt liggen in het hart van de moderne wiskunde. Hij behoort tot de weinige wiskundigen die op topniveau thuis zijn in zowel de analytische getaltheorie als de algebraïsche meetkunde.
„Hij blijft mij verbazen over zijn veelzijdige en diepe kennis van twee verschillende onderdelen van de wiskunde”, laat Frans Oort in een reactie per mail weten. Oort is emeritus-hoogleraar wiskunde aan de Universiteit Utrecht en kent Tsimerman al jaren. Lang geleden gaf hij eens een voordracht in Princeton over een bewijs dat hij met zijn Taiwanese collega Ching-Li Chai had geleverd. Tsimerman zat in de zaal, doorgrondde elke stap en kwam direct erna met een ánder bewijs voor dezelfde stelling. Het leidde tot een publicatie in 2012 in toptijdschrift Annals of Mathematics.
Vorig jaar was Tsimerman een paar dagen in Nederland. Hij verzorgde de openingslezing van het Nederlands Mathematisch Congres. „Tsimerman betoverde het publiek met de illusie dat het allemaal heel makkelijk en inzichtelijk is. Pas uren later, als je probeert het te reproduceren, merk je dat het helemaal niet zo eenvoudig in elkaar steekt”, mailt Sonja Cox van de Universiteit van Amsterdam, die erbij aanwezig was.
Jacob Tsimerman
‘Niet zo eenvoudig’ is een understatement. Tsimermans onderzoek gaat over ‘Shimura-variëteiten’, vernoemd naar Goro Shimura (1930-2019), een Japanse wiskundige die beroemd werd vanwege een stuk diepe wiskunde die uiteindelijk de sleutel bleek tot het bewijs van de laatste stelling van Fermat, in 1994.
Wiskundigen bestuderen oplossingsverzamelingen van zeer ingewikkelde vergelijkingen. Zulke oplossingsverzamelingen heten variëteiten. Een voorbeeld in slechts twee dimensies is de vergelijking y = x2. De oplossingen zijn geen losse getallen, maar vormen samen een vorm die ‘parabool’ wordt genoemd.
Zo’n parabool op een plat vlak is een voorbeeld van de simpelste soort. In de moderne wiskunde zijn variëteiten meestal veel-dimensionaal. Ze leven niet in onze intuïtieve ruimte, maar in abstracte werelden die toch verrassend veel samenhang vertonen. Shimura-variëteiten zijn een gigantische generalisatie van dit idee. Je kunt ze zien als ‘ruimtes’ die hele families van variëteiten in hogerdimensionale ruimtes bevatten. Ze verzamelen enorme hoeveelheden wiskunde tot één object. Shimura-variëteiten laten zien dat getallen, vormen en symmetrieën diep met elkaar verweven zijn.
Een ‘punt’ op een Shimura-variëteit is geen los getal, maar representeert een hele variëteit op zichzelf. Niet al die punten zijn gelijkwaardig. Sommige punten, de zogeheten ‘punten met complexe vermenigvuldiging’, zijn uitzonderlijk symmetrisch. Tsimermans belangrijkste werk gaat over de vraag hoe deze speciale punten op Shimura-variëteiten verspreid liggen.
In 1989 deed de Franse wiskundige Yves André een voorspelling over de structuur van een aparte categorie Shimura-variëteiten; enkele jaren later volgde een generalisatie door Frans Oort. Het zogeheten ‘André-Oort-vermoeden’ probeert de structuur van Shimura-variëteiten precies te vangen. Grofweg zegt het vermoeden dat áls een Shimura-variëteit een deelruimte bevat met ‘heel veel’ speciale punten, die deelruimte zélf speciaal moet zijn. Iets preciezer: een variëteit op een Shimura-variëteit die veel speciale punten heeft, is zélf een Shimura-variëteit. De speciale punten clusteren als het ware samen op betekenisvolle plekken, gebieden die een diepe vorm van symmetrie bevatten.
In 2014 werd het vermoeden bewezen onder de aanname van de nog altijd onopgeloste Riemann-hypothese. Zonder extra aannames waren alleen de allereenvoudigste gevallen bewezen. Tsimerman slaagde erin het algemene André-Oort-vermoeden te bewijzen zónder onbewezen aannames. Dat was een sensatie in de wiskunde: Tsimerman bevestigde dat Shimura-variëteiten geen chaotische verzamelingen zijn, maar strak geregisseerde objecten.
De wiskunde waaraan Tsimerman werkt, heeft zelden directe toepassingen. Niemand gebruikt Shimura-variëteiten om een betere app te bouwen. Tsimermans werk laat zien dat vooruitgang in de wiskunde niet wordt gedreven door directe bruikbaarheid, maar door het blootleggen van verborgen orde. En toch: dikwijls blijkt dat ideeën die ooit volstrekt esoterisch leken, decennia later onmisbaar zijn in onverwachte domeinen. Neem de cryptografie, die een robuuste veiligheid van netwerken mogelijk maakt: daarvoor is het gereedschap van theoretisch wiskundigen essentieel.
John Pardon
Deng Yu
Wang Hong
Jacob Tsimerman werd op 26 april 1988 geboren in Kazan, Rusland. Als peuter verhuisde hij met zijn ouders naar Israël en toen hij acht jaar was, emigreerde het gezin naar Canada. In Toronto studeerde Tsimerman wiskunde. In 2011 behaalde hij zijn doctoraat aan Princeton University. Na een driejarige ‘postdoc’ aan Harvard University trad hij in 2014 toe tot de wiskundefaculteit van de University of Toronto.
Naast Jacob Tsimerman zijn drie anderen geëerd met een Fieldsmedaille: Wang Hong en Deng Yu uit China en John Pardon uit de VS. Wang Hong is pas de derde vrouw die een Fieldsmedaille heeft gekregen. Over haar werk schreef NRC vorig jaar: ‘Hoe een naald kan draaien en kantelen in een onzichtbaar gebied’.
De uitreiking van de Fieldsmedailles vond plaats op 23 juli in Philadelphia, op de eerste dag van het Internatinaal Congres van Wiskundigen, dat nog tot 30 juli duurt. De medailles, die qua status vergelijkbaar zijn met de Nobelprijs, worden eens in de vier jaar uitgereikt aan vier wiskundigen van onder de veertig jaar.
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin