Wiskunde Een achttienjarige die opgroeide op de Bahama’s kraakte een groot wiskundeprobleem waar professoren veertig jaar op vastliepen. Wie is Hannah Cairo?
Hannah Cairo voor een van de gebouwen van de University of Maryland. „Voorlopig ben ik bezig vrienden te maken.”
Af en toe halen slimme tieners het nieuws omdat ze een wiskundig probleem hebben opgelost. Bijvoorbeeld in 2007, toen leerlingen uit Nijmegen in het kader van hun profielwerkstuk een nieuw ‘magisch vierkant’ ontdekten. Of in 2023, toen twee Amerikaanse scholieren een nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras presenteerden. Knappe prestaties, daar niet van, maar met wiskundig onderzoek heeft het weinig te maken.
Het verhaal van Hannah Cairo, deze zomer achttien jaar geworden, is anders. Ze groeide op in Nassau, de hoofdstad van de Bahama’s in de Atlantische Oceaan. Eerder dit jaar loste ze een probleem op waar professoren al veertig jaar op vastliepen. Ze weerlegde een vermoeden dat de Japanse wiskundigen Sigeru Mizohata en Jiro Takeuchi in de jaren tachtig van de twintigste eeuw hadden geformuleerd. Cairo’s artikel is van een uitzonderlijk niveau en leverde haar, zonder middelbareschooldiploma, een promotieplek op aan de University of Maryland.
NRC voerde drie gesprekken via Zoom: met Cairo zelf, met Zvezdelina Stankova van de University of California in Berkeley, en met Emiel Lorist van de Technische Universiteit Delft. „Hannah is een wonderkind”, zegt Stankova. Lorist over haar tegenvoorbeeld van het Mizohata-Takeuchi-vermoeden: „Dit is absoluut een big deal.”
Cairo neemt ruim de tijd om te vertellen over haar jeugd, haar transitie en haar liefde voor wiskunde. In Nassau ging ze niet naar een reguliere school, ze kreeg voornamelijk thuisonderwijs. Haar uitzonderlijke wiskundetalent was al vroeg duidelijk. Op elfjarige leeftijd verdiepte ze zich in onderwerpen ver boven het niveau van een Nederlands eindexamen. Via het gratis online platform Khan Academy ontwikkelde ze zich razendsnel.
In de zomer van 2020 meldde Cairo zich aan voor de Berkeley Math Circle, een programma voor middelbare scholieren die meer uitdaging zoeken. „Vanwege de coronapandemie was de Math Circle online. Daardoor kon ik vanuit de Bahama’s makkelijk deelnemen”, vertelt ze.
Zvezdelina Stankova richtte de Berkeley Math Circle op in 1998. De beste wiskundigen komen van over de hele wereld om kinderen kennis te laten maken met de schoonheid van wiskunde. „Hannah was pas dertien, maar duidelijk vergevorderd”, zegt Stankova. „Ze raakte verslaafd aan wiskunde.” Toen Cairo met haar familie in 2023 naar de Verenigde Staten verhuisde – ze was inmiddels zestien jaar –, adviseerde Stankova haar om mastercursussen te volgen die openbaar toegankelijk zijn.
Tijdens het videogesprek uit Stankova haar frustraties over de Californische bureaucratie. „Vorig jaar zijn de vingerafdrukken van docenten digitaal vastgelegd en doorgestuurd naar politie en justitie, die controleren of je geen strafblad hebt. Het is echter onmogelijk om ‘op de Californische manier’ vingerafdrukken te maken van gastsprekers die voor twee of drie lezingen naar Berkeley komen. Sommige lokale gastsprekers weigerden te komen, omdat ze niet in nóg een database willen worden opgenomen”, zegt Stankova, die daar begrip voor heeft en het hele gebeuren „een soort Kafka” noemt.
Het gevolg was dat Stankova halsoverkop vervangers moest zoeken. Omdat Cairo inmiddels bekend was met de Math Circle, nam ze in het collegejaar 2024-2025 zo veel mogelijk lessen over als ze kon. Omdat ze pas zeventien was, was haar vingerafdruk niet nodig. Stankova: „Hannah werd midden in die bureaucratische chaos gegooid, terwijl tegelijkertijd ook haar persoonlijke situatie ingewikkeld was.”
Stankova doelt op het feit dat Cairo een trans vrouw is. „Ik had altijd al het gevoel dat ik een meisje wou zijn, al wist ik niet precies wat dat betekende”, zegt ze er zelf over. „Toen ik eenmaal ontdekte dat trans personen bestaan, kwam ik erachter dat mensen op de Bahama’s behoorlijk transfobisch zijn. Ze vinden trans personen maar eng en raar.”
Cairo wist dat ze niet op steun van haar ouders kon rekenen. Eenmaal in Amerika zocht ze op internet over medische transitie. „Ik zocht uit wat er mogelijk was. En toen deed ik het gewoon.” In de wiskundewereld wordt Cairo geaccepteerd zoals ze wil: „Ze kennen me al jaren als Hannah. Mijn ouders heb ik het pas een paar maanden geleden verteld.” Inmiddels is ze een bekendheid in de wiskunde, vanwege haar oplossing van het probleem van Mizohata en Takeuchi, die ze vond als ‘bijproduct’ naast al die lessen die ze bij de Math Circle gaf en de mastercolleges die ze volgde.
Het was Ruixiang Zhang die Cairo kennis liet maken met het vermoeden van Mizohata en Takeuchi. Zhang verzorgde het college ‘restrictietheorie’, onderdeel van de harmonische analyse, het vakgebied dat gaat over het opdelen van complexe wiskundige objecten in kleinere, behapbare stukjes. Door die los van elkaar te analyseren, kunnen wiskundigen iets zeggen over het originele object. Een bekend voorbeeld, waarmee elke wiskundestudent al vroeg kennismaakt, is de zogeheten Fouriertransformatie: in de negentiende eeuw ontdekte de Fransman Joseph Fourier dat elke functie, hoe gecompliceerd ook, tot elke gewenste mate van nauwkeurigheid kan worden benaderd door een som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties. De harmonische analyse speelt een sleutelrol op vele terreinen, zoals beeldanalyse en spraakherkenningssoftware.
Toen Zhang zijn studenten een vereenvoudigde versie van het Mizohata-Takeuchi-vermoeden voorlegde, liet dit Cairo niet meer los. Ze begon na te denken over de algemene versie, een nog onopgelost probleem in de wiskunde. Als Cairo erover vertelt, klinkt ze als een wiskundige met jarenlange ervaring. „De gewone sinus- en cosinusfunctie zijn eendimensionaal. Maar je kunt vergelijkbare functies maken voor meerdere dimensies. Golven kunnen dan in allerlei richtingen bewegen.” Ze praat rustig en helder, en wijst met haar armen in diverse richtingen. Zo illustreert ze een ingewikkelde golf, één die ontstaat doordat talloze eenvoudige golfjes – allemaal met hun eigen richting en snelheid – over elkaar heen buitelen.
Het Mizohata-Takeuchi-vermoeden gaat over vormen die zijn opgebouwd uit meerdere hogerdimensionale golven die over elkaar heen buitelen.
„Je kunt onderzoeken welke vormen je met die golven kunt maken, en hoeveel energie van dat geheel er uiteindelijk in een bepaald gebied samenkomt.” De energie is hier een maat voor hoe groot zo’n samengestelde vorm kan worden. Mizohata en Takeuchi vermoedden in de jaren tachtig van de vorige eeuw dat die energie niet veel groter kan worden dan in het geval waarin alle golfjes netjes dezelfde kant op bewegen. Maar Cairo liet met een slim tegenvoorbeeld zien dat dit niet klopt. Hoe meer variatie er in de richtingen van de golven zit, hoe meer energie er zich heel geleidelijk kan ophopen.
Hoe kwam Cairo op haar tegenvoorbeeld? „In het begin dacht ik dat het vermoeden waar zou zijn”, zegt ze. Niet verwonderlijk: in de wiskunde is ‘vermoeden’ de gangbare term voor een uitspraak die onbewezen is, maar waarvan experts denken dat die waar is. „Ik deed hard mijn best om het te bewijzen, maar ik stuitte op een probleem. Toen sloeg de twijfel toe. Ik dacht: misschien kan ik een voorbeeld construeren waarin het vermoeden níét klopt. Ik probeerde van alles, maar niks werkte. Dus dacht ik opnieuw dat de uitspraak waarschijnlijk wél waar was. Zo ging het heen en weer, keer op keer.”
Dat is precies hoe het er in het wiskundig onderzoek aan toe gaat. Waar het bij schoolwiskunde vooral gaat om het aanleren van oplosmethoden, weet je bij open problemen niet van tevoren wat wel en wat niet werkt. Je moet dingen uitproberen, je bewandelt doodlopende wegen. Het is gebruikelijk dat je uren, dagen, weken, maanden bezig bent met bewijspogingen. Soms met resultaat, maar veel vaker zonder. Die stijl van wiskunde doen, met al die onzekerheden, heeft Cairo al extreem vroeg in de vingers. Na een maand of twee denkwerk vond ze een tegenvoorbeeld dat het Mizohata-Takeuchi-vermoeden onderuit haalt. Aanvankelijk een ingewikkelde constructie, even later één die korter en eleganter is.
„Eerst geloofde ik mezelf niet. Ik dacht: waar zit mijn fout? Het proces van controleren of alles klopte, ging heel langzaam”, vertelt ze. Maar hiaten vond ze niet, en haar docent Zhang evenmin. Het artikel is nog niet officieel gepubliceerd, maar ligt nog onder review. „Zoiets duurt in de wiskunde vaak wel een jaar”, zegt Cairo.
Emiel Lorist uit Delft verwacht dat het door een toptijdschrift gepubliceerd gaat worden, gezien de positieve reacties uit de wiskundige gemeenschap sinds Cairo haar artikel in februari als preprint online zette. In juni mocht ze er een voordracht over houden bij een conferentie over harmonische analyse in het Spaanse Escorial, niet ver verwijderd van Madrid. Uit de hele wereld waren experts aanwezig, onder wie Lorist.
„Die conferentie is een van de belangrijkste in ons vakgebied”, zegt hij. Totdat Cairo liet zien dat het Mizohata-Takeuchi-vermoeden fout is, werd het volgens Lorist gezien als „een probleem dat met onze huidige technieken nog far out of reach is”. Lorist was onder de indruk van Cairo’s optreden. „Echt heel goed. Ze was eigenlijk ingepland voor een korte lezing tijdens een parallelsessie, maar ze heeft onofficieel nog een tweede, langere voordracht gegeven in de lunchpauze. Er zijn veel wiskundigen die nog wat van haar kunnen leren als het op presentatieskills aankomt.”
Ook de slides van Cairo’s presentatie vielen op, versierd met tekeningetjes van bloemen en bomen. „Ik wou wat persoonlijkheid toevoegen”, zegt Cairo, al geeft ze lachend toe dat het niet haar eigen tekeningen zijn: „Het zijn sjablonen van internet. Nu denk ik: voortaan moet ik ze zelf maar maken.”
Het succes zette Cairo aan op zoek te gaan naar een promotieplek. Dat bleek niet eenvoudig: veel universiteiten, ook Berkeley, wezen haar af omdat ze geen bachelordiploma heeft.
„Triest”, zegt Stankova. „Ze heeft niet het juiste papiertje, maar wel alle noodzakelijke kennis. Ik had haar toegelaten. Het is tragisch dat Hannah in Berkeley, de plek waar ze wiskundig groeide, geen voorvechter heeft op een voldoende hoge positie.”
De University of Maryland durfde het wel aan. Deze zomer verhuisde Cairo daarom naar de oostkust. Ze mist de oceaan van de Bahama’s en de wandelpaden van Californië. „In Maryland zijn vooral auto’s. Ik moet nog uitzoeken wat mensen hier doen. Voorlopig ben ik bezig vrienden te maken.”
En wiskunde doen, uiteraard. Cairo heeft zich gestort op een probleem van Elias Stein, in de tweede helft van de vorige eeuw een zwaargewicht uit de harmonische analyse. Enkele jaren eerder dan Mizohata en Takeuchi formuleerde ook Stein een vermoeden, gerelateerd aan dat van zijn Japanse collega’s. De juistheid van zijn vermoeden zou de juistheid van het Mizohata-Takeuchi-vermoeden impliceren. Nu het Mizohata-Takeuchi-vermoeden is weerlegd, betekent dat, dat het Stein-vermoeden óók fout is.
Cairo werkt nu aan het zogeheten ‘lokale Stein-vermoeden’, een aangepaste versie die nog open staat. Op de vraag of ze denkt dat het lokale Stein-vermoeden waar is, antwoordt ze gniffelend: „Ik weet het antwoord en ben bezig met een artikel, samen met Ruixiang Zhang.” Maar zolang ze het artikel niet hebben geopenbaard, wil ze er niks over kwijt, behalve dat ze in haar hoofd „alle details heeft nagelopen” en „denkt dat alles klopt”.
Wat doet Cairo over tien jaar? Waarschijnlijk onderzoek doen en wiskunde geven. Waar precies, weet ze niet – de opkomst van het trumpisme in Amerika maakt haar onzeker. Maar hoogleraar worden is de logische uitkomst. Voor Stankova uit Berkeley staat vast: „Eigenlijk zou ze nu al een postdoc-positie moeten krijgen.”
NIEUW: Geef dit artikel cadeauAls NRC-abonnee kun je elke maand 10 artikelen cadeau geven aan iemand zonder NRC-abonnement. De ontvanger kan het artikel direct lezen, zonder betaalmuur.
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin