Misschien lag het aan mij, misschien lag het aan het weer, maar ik had onbedaarlijk veel zin in een lekker raadsel. Gelukkig had wiskundige Tanya Khovanova er net één bedacht en beschreven op haar blog.
Het raadsel speelt zich af op een eiland vol met waarheidssprekers en leugenaars. De waarheidssprekers spreken (zoals hun naam al zegt) altijd de waarheid, terwijl de leugenaars altijd liegen. Bovendien zijn de leugenaars vastberaden om niet ontmaskerd te worden als leugenaars en willen ze mensen zoveel mogelijk in de war brengen met hun antwoorden. Daarbij zijn de leugenaars, in tegenstelling tot sommige deelnemers aan Expeditie Robinson, zeer coöperatief. Ze werken samen om niet ontdekt te worden. Op het eiland weten alle bewoners van elkaar wie een waarheidsspreker is en wie een leugenaar.
Op een dag komt er een reiziger naar het eiland die wil ontdekken wie de leugenaars zijn. Elke keer dat hij met een groepje mensen op het eiland praat, vraagt hij aan elk van hen: ‘Hoeveel waarheidszeggers zijn er in deze groep?’ De leugenaars willen voorkomen dat deze reiziger het juiste antwoord op zijn vraag ontdekt en ze willen ook niet dat hij van iemand kan uitvogelen of het een leugenaar of een waarheidsspreker is. Wat is de beste strategie voor de leugenaars?
Ten eerste moet elke leugenaar altijd een antwoord geven dat zou kunnen kloppen. Als hij ‘oneindig veel’, ‘min vijf’ of ‘bananen’ antwoordt, dan weet de reiziger onmiddellijk dat hij een leugenaar is. Ook het antwoord ‘nul’ is dom om te geven, want een waarheidszegger zou natuurlijk altijd op minstens één uitkomen.
Khovanova werkt uit wat er kan gebeuren als de reiziger een groepje van drie eilandbewoners tegenkomt. Stel dat die allemaal zeggen dat er onder hen twee waarheidssprekers zijn, dan kan de reiziger bedenken dat het drie leugenaars moeten zijn. Want áls er twee waarheidssprekers waren, dan zouden die allebei netjes twee antwoorden, maar de leugenaar moest dan een ander getal noemen. Ook bij de antwoorden {1,1,1}, {1,1,2}, {1,1,3} en {2,3,3} weet de reiziger dat hij bij drie leugenaars staat.
Bij de antwoorden {1,2,3} of {1,3,3} kan de reiziger uitwerken dat degenen die twee of drie antwoorden in elk geval leugenaars zijn. Bij {2,2,3} is het duidelijk dat degene die 3 zegt in elk geval moet liegen.
Maar als de reiziger drie keer het antwoord drie krijgt, kan dit twee dingen betekenen: of het zijn drie waarheidssprekers, of het zijn drie leugenaars. En bij {1,2,2} kan hij te maken hebben met één waarheidsspreker en twee leugenaars, of met twee waarheidssprekers en één leugenaar. Kortom: bij deze antwoordpatronen kan de reiziger helemaal niets uitpuzzelen en dat is wat de leugenaars willen.
In het algemeen is de strategie voor de leugenaars om allemaal het aantal leugenaars in de groep te noemen. Dit werkt voor elke groepsgrootte. De leugenaars hebben alleen een probleem als ze in een groep met precies evenveel waarheidssprekers als leugenaars staan, want dan geven ze met deze strategie het juiste antwoord. En dat willen ze natuurlijk niet. Khovanova laat als bonusvraag wat de leugenaars in dit geval moeten doen.
U denkt misschien dat dit weer zo’n van de werkelijkheid losgezongen wiskundig raadsel is. Maar een van Khovanova’s lezers reageerde onder deze puzzel met: ‘Laten we politiek buiten deze blog houden…’
Over de auteur
Ionica Smeets is hoogleraar wetenschapscommunicatie aan de Universiteit Leiden. Ze is wiskundige en schrijft sinds 2009 columns voor de Volkskrant.