Kunstmatige intelligentie Dit jaar is een nieuw tijdperk begonnen: AI-modellen bereikten het niveau van de beste wiskundigen. Wat betekent dit voor de wetenschap? En welke rol blijft er over voor de mens?
De Fieldsmedaille, de officieuze Nobelprijs voor wiskundigen van onder de veertig jaar.
In de nacht van 6 op 7 oktober scrolde de Franse wiskundige Hugo Duminil-Copin door een kersvers document op het onlineplatform Github. Wat hij daar aantrof, raakte hem zo diep dat hij moest huilen. Zijn dochter werd er wakker van.
Wat was er aan de hand? Kort voor middernacht Europese tijd had techbedrijf OpenAI een lijst gepubliceerd met honderden cruciale open vragen in bijna elk deelgebied van de wiskunde, waaronder getaltheorie, algebra, topologie, logica en mathematische fysica. OpenAI claimde ze allemaal te hebben opgelost. „We hebben het een week lang uit de hand laten lopen met de wiskunde, met opzet”, zei OpenAI-ceo Sam Altman vorige week in een aflevering van de podcast Cheeky Pint.
Duminil-Copin won in 2022 de Fieldsmedaille, de officieuze Nobelprijs voor wiskundigen van onder de veertig jaar. In een bijdrage van 30 augustus op de blog Proofs and Prompts schreef hij nog dat hij – tot dan toe – het geluk had gehad niet rechtstreeks te zijn getroffen door een kunstmatige intelligentie die een probleem oploste waaraan hij zelf werkte. Maar dat veranderde op 6 oktober. In een video die de Société Mathématique de France (SMF) twee dagen later op YouTube plaatste, vertelt Duminil-Copin dat de documenten waarin OpenAI naar zijn werk verwijst samen ongeveer 3.500 pagina’s beslaan: bijna evenveel als hij in zijn hele carrière zelf heeft gepubliceerd. Alle problemen waarover hij jarenlang had nagedacht, en die hij ooit had genoemd in artikelen, voordrachten en onderzoeksvoorstellen, bleken opgelost.
De weken voorafgaand aan OpenAI’s bekendmaking was er gewerkt aan een gigantische hoeveelheid wiskundeproblemen. Dat gebeurde door een voor het publiek ontoegankelijk AI-model. In Cheeky Pint liet Altman zich ontvallen dat de interne codenaam ‘Hold My Beer’ was, een uitdrukking die wordt gebruikt als iemand aankondigt een gewaagde stunt uit te halen. Het bedrijf deelde uiteindelijk tienduizenden pagina’s volgepakt met abstracte wiskunde, verdeeld over 722 artikelen, waarmee bijna 400 problemen zouden zijn opgelost.
Het kwam niet helemaal als een verrassing. Nadat OpenAI op 8 september zijn oplossing van het beroemde Navier-Stokesprobleem had gepresenteerd, gingen er al geruchten rond dat het bedrijf nog zo’n honderd andere wiskundeproblemen had opgelost. Het bleken er dus bijna vier keer zo veel te zijn. „Als je dit in mensenjaren meet, hebben we het over tien, twintig jaar vooruitgang”, reageert Steven Kelk in een videogesprek. Hij is wiskundige en onderzoeker op het gebied van algoritmen aan de Universiteit Maastricht.
Nog geen jaar geleden waren de grote taalmodellen onbruikbaar voor serieus wiskundig onderzoek. In 2026 veranderde dit in een tempo dat niemand voor mogelijk had gehouden. In mei was de door AI gegenereerde oplossing van één enkel probleem al nieuws. „Een mijlpaal in AI-wiskunde”, zei de Britse wiskundige Timothy Gowers over de oplossing van het ‘eenheids-afstandsprobleem’, tachtig jaar geleden geformuleerd door de Hongaar Paul Erdös. Een half jaar later presenteert OpenAI honderden oplossingen tegelijk.
Sommige oplossingen zijn tegenvoorbeelden, die aantonen dat een vermoeden onjuist is. Andere oplossingen zijn echte bewijzen, soms zelfs met originele invalshoeken waarbij verborgen verbanden tussen bestaande concepten aan het licht komen. Dat is typisch iets waar AI-modellen goed in zijn: ze putten uit grote hoeveelheden bestaande wiskundige kennis en kunnen daardoor makkelijker dan mensen verbanden leggen tussen resultaten uit verschillende deelgebieden.
Dat wiskunde zo’n vruchtbare voedingsbodem voor kunstmatige intelligentie is, komt volgens Kelk „doordat wiskunde alles in zich heeft dat voor AI-modellen nodig is om er steeds beter in te worden”. Hij doelt op automatische bewijsverificatie, waarbij bewijzen met behulp van speciaal daarvoor ontworpen software worden gecontroleerd op het niveau van de grondbeginselen van de wiskunde en de fundamentele regels van de logica. De Nederlander N.G. de Bruijn legde daarvoor al in 1967 de basis met Automath. Tegenwoordig is Lean koploper. Met een Lean-gecertificeerd bewijs zijn hallucinaties en subtiele fouten in redeneringen in principe uitgesloten. AI-modellen kunnen daardoor getraind worden om heel erg goed te worden in wiskunde.
Kelk signaleert nog een andere reden waarom OpenAI zijn pijlen juist op de wiskunde richt: „Wiskunde heeft een bepaalde maatschappelijke kracht, het geldt als een zuivere vorm van intelligentie. Mensen hebben het idee: als je wiskunde kunt oplossen, dan gaat de rest volgen. Maar dat is niet waar, want veel zaken vergen een intelligentie die rekening houdt met allerlei sociale en politieke factoren en voorkeuren in de echte wereld. Daar is AI, vooralsnog, niet goed in.” Of OpenAI begaan is met de wiskunde, betwijfelt Kelk: „Die results drop is gewoon machtsvertoon van OpenAI.”
De 722 openbaar gemaakte artikelen vond het bedrijf kennelijk de moeite waard om te publiceren. Het maakte daarbij niet inzichtelijk hoe de problemen werden geselecteerd, welke prompts er werden gegeven, hoeveel pogingen nodig waren en hoeveel rekenkracht en geld ermee gemoeid waren – al liet Altman in Cheeky Pint wel weten dat het om „honderden miljoenen dollars” gaat. Voor velen is dat gebrek aan transparantie een probleem. Maar het pijnlijkste, voor sommige wiskundigen, is dat de wiskunde van ze is afgepakt. „Mijn hele onderzoeksgebied is vernietigd”, zegt Duminil-Copin in het SMF-filmpje.
Het verlies zit bovendien in wat het oplossen van problemen normaal gesproken oplevert. In zijn blogartikel op Proofs and Prompts beschrijft de Fransman hoe mislukte pogingen om een vermoeden uit de percolatietheorie te bewijzen hem tientallen ideeën hadden opgeleverd die hij later in andere contexten kon gebruiken. Daaruit kwamen ontdekkingen voort die hij anders misschien nooit had gedaan.
Kelk herkent dat gevoel. Hij vreest dat de AI-revolutie de manier waarop wiskundigen hun vak beoefenen ernstig ontwricht: „De kern van het probleem is dat de mens centraal moet staan. Het gaat niet alleen om waar of onwaar. De ontdekkingstocht is belangrijk. Je groeit door dat proces. Je komt alleen tot de diepste inzichten en de diepste waardering van de logica van de wiskunde door die tocht zélf te ondernemen.”
Wiskundige en machine learning-expert Tim van Erven (Universiteit van Amsterdam) snapt dat onderzoekers zich persoonlijk bedreigd voelen, maar hij ziet ook een andere kant. In een videogesprek zegt hij: „Op korte termijn veroorzaakt dit enorme opschudding. Als iemand al zijn hele carrière aan zo’n probleem werkt, heb je een persoonlijk gevoel van verlies. Maar als je wat uitzoomt, dan is de vraag: wat komt daarvoor in de plaats? De wiskunde is oneindig. Als er dingen worden opgelost, openen zich ook weer nieuwe horizonnen. We komen dan in een periode waarin we kunnen kiezen: we hebben nu meer capaciteit.”
Van Erven voegt eraan toe dat een resultaat uiteindelijk alleen maar waardevol is als mensen het snappen. „Als een bewijs door mensen wordt begrepen en door mensen belangrijk wordt gevonden, dan is dat waardevol, ook al is het door een machine ontdekt. Mensen doen wiskunde omdat ze van het vak houden, maar het is ook gewoon een professionele activiteit, waarbij we iets van waarde creëren voor de samenleving. Als dat lukt met hulp van AI, dan vind ik dat een goede ontwikkeling.”
Gowers zit op diezelfde lijn. Hij won in 1998 de Fieldsmedaille, maar hij besloot een open brief van 25 Fieldsmedaillewinnaars niet te ondertekenen. De brief ontstond op initiatief van Duminil-Copin, na OpenAI’s oplossing van het Navier-Stokesprobleem. De 25 ondertekenaars benadrukken daarin dat de waarde van wiskundig onderzoek niet alleen ligt in het uiteindelijke antwoord, maar ook in het denkproces dat eraan voorafgaat. „De steeds snellere massaproductie van ‘waar/niet waar’-uitspraken zou de vruchtbare bodem kunnen vernietigen, in plaats van nieuwe ideeën tot leven te wekken”, is in de brief te lezen.
Op zijn weblog wijst Gowers erop dat het al vele jaren zo is dat er veel meer wiskunde bestaat dan één onderzoeker ooit kan begrijpen – dat is geen nieuwe ontwikkeling. Een positieve verandering vindt hij dat er nu een nóg grotere keuze aan resultaten is om te bestuderen. „Waarschijnlijk is de belangrijkste negatieve verandering dat we ophouden dat deel van onze hersenen uit te oefenen dat we gebruiken als we maanden of jaren worstelen met een moeilijk probleem. […] Maar zelfs als we alleen AI-output zouden lezen, denk ik dat de probleemoplossende spieren in de hersenen niet volledig wegkwijnen.”
De rol van wiskundigen zal verschuiven van het zelf vinden van een oplossing naar het doorgronden, beoordelen en verder ontwikkelen ervan. Overbodig wordt de mens niet. Van Erven: „Op dit moment is AI heel goed in het beantwoorden van concrete vragen, maar nog niet in het stellen van de goede vragen en het kiezen van interessante onderzoeksrichtingen. Misschien verbetert dat nog, maar die rol is nu echt nog voor mensen weggelegd.”
Van Erven merkt verder op dat wat OpenAI nu naar buiten heeft gebracht, nog niet voldoet aan de eisen voor een wetenschappelijke publicatie. „Elk tijdschrift zou de artikelen van OpenAI afwijzen. Redeneringen zijn vaak slecht te volgen, literatuur slecht besproken. Er is nog een berg werk om het te verwerken tot iets waar we iets aan hebben. Dat zullen de wiskundigen moeten doen.”
OpenAI lijkt zich dat te realiseren, want op 15 oktober maakte het bedrijf via X bekend vijf miljoen dollar te investeren „om wiskundigen te helpen bij het onderzoeken, begrijpen en verder ontwikkelen van resultaten die door AI zijn geproduceerd, waaronder de resultaten die we onlangs hebben gepubliceerd”.
De druk die de nieuwe mogelijkheden op onderzoekers leggen is voor jonge mensen het meest nijpend, want waar blijft hun ruimte om te leren? Op Proofs and Prompts vraagt Duminil-Copin zich af wat hij promovendi moet vertellen die een nieuw vakgebied betreden. „Welke Heilige Graal moeten ze de komende jaren nastreven als de bewijzen van grote vermoedens plotseling, van de ene dag op de andere, op een sociaal netwerk kunnen verschijnen?”
Al ziet Gowers potentieel in de nieuwe ontwikkeling, deze zorg van Duminil-Copin deelt hij wel: „Als de droom om een beroemd probleem op te lossen niet had bestaan, weet ik niet zeker of ik wiskundige zou zijn geworden”, schrijft hij op zijn weblog.
OpenAI had voorafgaand aan de publicatie een externe adviesraad ingesteld. Deze groep, waarvan Gowers een van de leden is, drong erop aan onopgeloste vraagstukken niet te gebruiken om nog niet vrijgegeven modellen te testen. Omdat dit standpunt werd genegeerd, heeft OpenAI volgens de protestbeweging Association for Human Mathematics „blijk gegeven van een totale minachting voor de normen van wetenschappelijk onderzoek – normen die garanderen dat wiskunde betrouwbaar, ethisch verantwoord en in het algemeen belang blijft”.
Omdat de adviezen van zo’n kleine groep niet bindend zijn, meent Kelk dat er vergaande collectieve afspraken nodig zijn. „OpenAI wil dat veel mensen hun licenties kopen en onderdeel van hun leven maken, zowel persoonlijk als professioneel. De wiskundige gemeenschap zou kunnen overwegen die licenties met zijn allen niet te kopen.”
Hij vreest echter dat individuele onderzoekers AI blijven gebruiken uit angst dat anderen hen anders voorbijstreven. Hij vergelijkt het met het gevangenendilemma: wat voor iedereen gezamenlijk ongunstig kan zijn, wordt voor ieder afzonderlijk toch de rationele keuze. „Dat is waarom ik mij zorgen maak”, zegt Kelk.
Voor Van Erven gaat een gezamenlijke boycot te ver. Is hij niet bang dat wiskundigen dan ‘slechts’ ondankbaar oppoetswerk moeten doen? „Er zijn, nationaal en internationaal, veel initiatieven opgezet om plannen uit te werken. We willen een constructieve visie presenteren. Ik hoop dat wiskundigen in de toekomst zélf toegang hebben tot krachtige AI-modellen en daarmee nieuw onderzoek van hoge kwaliteit kunnen produceren, dat zij zelf waardevol vinden.”
Of die toekomst er ook een is waarin wiskundigen zeggenschap houden over hun vakgebied? In Cheeky Pint zegt de ceo van OpenAI: „Ik wil een manier vinden om dit te doen die zo respectvol mogelijk is tegenover de gemeenschappen die deze vakgebieden al eeuwenlang vooruithelpen.” Het is een belofte waarvan nog moet blijken wat die waard is.
In de weken voordat OpenAI zijn duizelingwekkende lijst publiceerde, gingen er op internetfora al geruchten rond dat het bedrijf met grootse dingen bezig was. Er werd gesproken over bewijzen van het Hodgevermoeden en het Birch-Swinnerton-Dyervermoeden, twee ‘millenniumproblemen’. Die geruchten bleken onjuist, al zijn er wel deelresultaten met betrekking tot deze problemen geboekt. De lijst bevat verder vele andere spectaculaire resultaten.Van de voorgestelde bewijzen was op het moment van publicatie, op 6 oktober, 42 procent formeel geverifieerd met behulp van Lean. Eén dag later werden drie artikelen alweer teruggetrokken omdat er fouten in waren gevonden; enkele andere documenten werden aangepast. Een kleine greep uit de resultaten:
Geef elk punt van een plat vlak een kleur. Hoeveel kleuren zijn er minimaal nodig om dat zo te doen, dat twee punten die op een vaste afstand van elkaar vandaan liggen, nooit dezelfde kleur hebben? Het is al lang bekend dat meer dan zeven kleuren níét nodig zijn. In 2018 werd bewezen dat er zeker minstens vijf kleuren nodig zijn. Die ondergrens is door OpenAI opgeschroefd naar zes. Het ‘chromatisch getal’ van het vlak is daarom zes of zeven.
Datum eerste publicatie: 23 september 2026Aantal pagina’s: 62Leanverificatie: ja
De Riemannhypothese – over de verdeling van de priemgetallen – geldt als het belangrijkste onopgeloste probleem in de wiskunde. Tel je het aantal priemgetallen kleiner dan honderd, dan kom je op 25, onder de duizend zijn er 168 priemgetallen, onder de tienduizend 1.229. De ‘priemgetalstelling’, al geformuleerd rond 1800 maar pas bewezen in 1896, geeft een benaderingsformule voor het aantal priemgetallen tot aan een zekere grensx. In 1859, dus nog voordat de stelling was bewezen, publiceerde Bernhard Riemann een beroemd geworden artikel over de foutmarge van die benaderingsformule: die zou een ordegrootte van ‘x tot de macht 1/2’ (oftewel: de wortel van x) hebben. De quasi-Riemannhypothese is hier een verzwakte vorm van. OpenAI heeft bewezen dat de foutmarge een ordegrootte van ‘x tot de macht 7/8’ heeft.
Datum eerste publicatie: 30 september 2026Aantal pagina’s: 199Leanverificatie: ja
Bestaat er een algemene methode waarmee je kunt bepalen of een zogeheten ‘diofantische vergelijking’ oplossingen heeft in gehele getallen? Het antwoord (nee) is het resultaat van gezamenlijk werk van vier wiskundigen gedurende 21 jaar – de voltooiing vond plaats in 1970 door de Rus Joeri Matijasevitsj. De uitbreiding naar rationale oplossingen (breuken) was nog altijd een open probleem. OpenAI heeft bewezen dat ook hier het antwoord negatief is: zo’n algoritme bestaat niet
Datum eerste publicatie: 24 september 2026Aantal pagina’s: 62Leanverificatie: nee
Een wiskundig bewijs kun je vergelijken met een recept dat je stap voor stap uitvoert. Je kunt tussenstappen uitschrijven, definities invullen en uitdrukkingen verder vereenvoudigen. In de logica heet zo’n vereenvoudigingsstap β-reductie. Soms kun je daarbij verschillende routes volgen. Het vermoeden dat in 1993 werd geformuleerd door de Nederlanders Henk Barendregt, Herman Geuvers en Jan Willem Klop zegt dat áls een uitdrukking op minstens één manier in eindig veel stappen vereenvoudigd kan worden tot een ‘eindvorm’ (een uitdrukking waarop geen enkele vereenvoudigingsstap meer mogelijk is), dit ook geldt voor elke andere mogelijke route
Datum eerste publicatie: 25 september 2026Aantal pagina’s: 72Leanverificatie: ja
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin
Bij Google kan je nu zelf aangeven welke nieuwsbronnen jij vaker wil zien in je zoekresultaten.Meer informatie