Wiskunde Sinds 2023 bestaat een – nog incompleet – overzicht van de meer dan duizend raadsels van Paul Erdös. Nu die online catalogus steeds meer bekendheid krijgt, volgen nieuwe oplossingen elkaar snel op, mede dankzij kunstmatige intelligentie.
„Problemen zijn altijd een essentieel onderdeel van mijn leven geweest”, zei Paul Erdös eens. Het klinkt als een verzuchting, maar dat was het nadrukkelijk niet. Voor de Hongaar Erdös (1913-1996) was een probleem geen obstakel, maar iets moois, iets aantrekkelijks. Waar anderen het liever over ‘uitdagingen’ hebben, spreken wiskundigen nog altijd gewoon over problemen.
Erdös deed aan problemen in vliegtuigen en rijtuigen, op parkbankjes en marktpleinen, aan keukentafels van collega’s bij wie hij bleef logeren – eigenlijk overal, behalve thuis, want een thuis had hij niet. Hij was een wiskundige nomade, zijn hele bezit paste in één afgeleefde koffer. Overal waar hij kwam, ontsproten problemen aan zijn scherpe geest.
Erdös had het talent om blokkades in oplossingsmethoden te herkennen en die te vangen in prikkelende problemen. Nog niet eens de helft ervan is opgelost. Vervelen doen ze nooit: ook bijna dertig jaar na zijn dood zijn de door Erdös geformuleerde problemen springlevend. Wie er één oplost, maakt daarmee een goede sier op feesten en partijen.
Lang niet alle Erdösproblemen zijn vermeld in officiële publicaties. Ze staan in notitieboekjes, in duizenden brieven die Erdös schreef aan collega’s, of leven alleen voort in het collectieve geheugen van wiskundigen die ooit met hem discussieerden. Erdös kende hun interesses feilloos en paste zijn vragen daarop aan. Een administratie van alle problemen werd nooit bijgehouden. Hoeveel er precies zijn, is dan ook onbekend.
Thomas Bloom, wiskundige aan de universiteit van Manchester, werkt aan een overzicht. Toen hij zijn website erdosproblems.com in 2023 lanceerde, bevatte die zo’n tweehonderd problemen. Het is work in progress: Bloom breidt de lijst voortdurend uit, soms via eigen speurwerk, soms dankzij tips van collega’s. De teller staat nu op 1.135 problemen, elk voorzien van een status: al dan niet opgelost. Momenteel zijn er 466 opgelost.
Een van de bekendste problemen dateert uit 1936 en gaat over de vraag hoe lang een lijst getallen kan zijn, zonder dat er drie bij zitten die op gelijke afstand van elkaar liggen, zoals het drietal 5, 8, 11 (afstand 3), of 99, 149, 199 (afstand 50). Het is niet moeilijk een oneindige lijst samen te stellen, bijvoorbeeld door te beginnen met 1 en steeds te verdubbelen: 1, 2, 4, 8, 16, enzovoorts. Maar dan groeien de gaten snel. Erdös’ vraag was subtieler: hoe dicht kun je de getallen bij elkaar houden zonder die verboden structuur te krijgen?
Op Blooms site draagt dit probleem nummer 3. In 2020 zette Bloom zelf, samen met Olof Sisask, een grote stap richting een oplossing. Drie jaar later verbeterden Zander Kelley en Raghu Meka dat resultaat. Omdat het om een bekend probleem ging, verspreidde het nieuws zich onder wiskundigen snel, al ging het ‘slechts’ om een verbetering van een bestaand resultaat – het eigenlijke probleem staat nog altijd open. De meeste experts denken dat er uiteindelijk geheel nieuwe ideeën nodig zijn om het definitief te kraken.
Voor sommige problemen loofde Erdös prijzengeld uit. Dat waren meestal symbolische bedragen, een paar tientjes. Maar probleem 3 is 5.000 dollar waard. Veel andere Erdösproblemen zijn minder weerbarstig. De Nederlander Wouter van Doorn loste vorig jaar het tweede deel van het 78-dollar-probleem 711 op. Het merkwaardige bedrag van 78 dollar komt doordat Erdös voor dit probleem, uit 1992, een geldbedrag in Indiase roepies uitloofde: 2.000 roepies, wat destijds ongeveer 78 dollar was.
Van Doorns bewijs werd onlangs gepubliceerd in het openaccesstijdschrift Integers. Verder werden in 2025 nog heel wat andere (deel)oplossingen gevonden, onder meer voor de problemen 315, 391 en 792, om slechts enkele voorbeelden te noemen.
Daarnaast bestaan er honderden problemen die jarenlang nauwelijks aandacht kregen, ook niet van Erdös zelf. Dat gebrek aan overzicht leidde in oktober vorig jaar tot een kleine rel rond techbedrijf OpenAI. Hun pas gelanceerde model GPT-5 had, zonder menselijke tussenkomst, enkele Erdösproblemen opgelost. Gejubel op sociale media, totdat bleek dat al die problemen in werkelijkheid reeds opgelost waren – in sommige gevallen al decennia geleden. Bijvoorbeeld probleem 1079, uit de grafentheorie: Erdös formuleerde het in 1975; twee wiskundigen losten het op in 1981.
De onderzoekers van OpenAI hadden zich gebaseerd op Blooms website, waar die problemen nog als ‘open’ vermeld stonden. De oplossingen bleken deel uit te maken van de miljoenen pagina’s tekst waarmee GPT-5 was getraind. Die stonden vaak in tijdschriften binnen een smalle niche, er werd nooit veel ruchtbaarheid aan gegeven. Bloom, voor wie het onderhouden van erdosproblems.com een uit de hand gelopen hobby is, was er eenvoudigweg niet van op de hoogte. Na dit incident zette Bloom bij elk open probleem een disclaimer: „De open status van dit probleem weerspiegelt de huidige kennis van de beheerder van deze website. Er bestaat mogelijk literatuur over waarvan ik niet op de hoogte ben.”
Het voorval maakte duidelijk dat AI heel goed enorme hoeveelheden tekst kan doorzoeken, ordenen en combineren. Het is goed denkbaar dat er nog meer onbekende of vergeten wiskundige literatuur bestaat waarin oplossingen of aanknopingspunten voor Erdösproblemen verscholen liggen. AI kan daar sneller en systematischer doorheen dan een mens.
Volgens de bekende wiskundige Terence Tao (University of California, Los Angeles) zijn er veel Erdösproblemen die helemaal niet zo moeilijk zijn, maar domweg nog onopgelost zijn omdat ze nooit serieus zijn bestudeerd. Tao spreekt van ‘laaghangend fruit’: problemen waarvoor eenvoudige bewijzen bestaan, geleverd met standaardtechnieken. In december schreef Tao op Mastodon dat AI inmiddels „capabel genoeg is om het laaghangende fruit te plukken”.
Tao doet diepgaand onderzoek in diverse deelgebieden van de wiskunde, maar mag in verloren uurtjes graag experimenteren met AI om wat laaghangend fruit te plukken. Dat leidde in de afgelopen maanden tot een aantal successen. Zo zijn de problemen 367, 1026 en 1102 (deels) opgelost dankzij internationale online samenwerking. Naast pen en papier werden AI-tools als Gemini DeepThink, Aristotle en Claude ingezet. Daarnaast speelde Lean een rol, software die wiskundige bewijzen formaliseert en volledig controleert. Zonder deze moderne middelen was het werk niet onmogelijk geweest, maar wel aanzienlijk trager. In één geval – probleem 1026 – was binnen 48 uur duidelijk hoe de zaak in elkaar stak.
Op 4 januari werd een opvallende mijlpaal bereikt in het gebruik van AI. Na feedback op een eerste poging produceerde GPT-5.2 grotendeels autonoom een oplossing van probleem 728. Daarmee werd zichtbaar hoe snel de mogelijkheden van deze tools zich ontwikkelen. Al waren de gebruikte technieken standaard, eerder werk over probleem 728 werd niet gevonden. Anders dus dan in oktober, toen achteraf bleek dat vermeende doorbraken niet nieuw waren.
De door GPT-5.2 gepresenteerde oplossing had aanvankelijk een wat stroef, ‘AI-achtig’ karakter en miste context en literatuurverwijzingen. Ook bevatte het bewijs enkele kleine fouten. Die bleken echter automatisch corrigeerbaar: de AI-tool Aristotle herstelde ze en leverde uiteindelijk een Lean-gecertificeerd bewijs af. Na een lange heen-en-weersessie op ChatGPT mondde dit uit in een uitgebreid artikel met een heldere structuur, waarin niet alleen het bewijs wordt uitgewerkt, maar ook de plaats ervan in de bestaande literatuur.
Terence Tao verwacht dat in de komende tijd vrijwel alle openstaande Erdösproblemen in stilte zullen worden aangepakt door verschillende mensen met hun favoriete AI-tool, schrijft hij op Mastodon. Hoe vaak dat een noemenswaardig resultaat zal opleveren? Tao’s schatting: 1 à 2 procent.
Worden wiskundigen nu vooral ‘LLM-prompters’, in plaats van zelf bewijzen te bedenken? Zeker niet. Voor het ontwikkelen van werkelijk nieuwe concepten blijven menselijke denkkracht en creativiteit onmisbaar. Wel ziet Tao kansen om routinematig bewijswerk uit te besteden aan een combinatie van AI-gegenereerde tekst en formele verificatie. Op Mastodon schrijft hij dat de tijdwinst bij het herschrijven van teksten een grote meerwaarde is. Want, zo merkt Tao op: „De huidige praktijk is dat het produceren van zelfs maar één leesbaar manuscript behoorlijk tijdrovend is.”
De in 2023 gelanceerde website erdosproblems.com van Thomas Bloom mag rekenen op veel interesse. De site bevat 51 verwijzingen naar artikelen die in 2025 zijn verschenen op de preprintserver arXiv. Een kleine greep:
Probleem 391
Tijdens een conferentie in 1995 presenteerde Erdös een stelling waarvan hij meende dat hij er vijftien jaar eerder met zijn collega’s Ernst Straus en John Selfridge een bewijs voor had gevonden, dat helaas verloren was gegaan. Hoe diep Erdös ook groef in zijn geheugen, hij kon het niet meer reproduceren.
Dit probleem heeft nummer 391 op de site van Bloom. Kies een getal n en neem daarvan de faculteit. Dat wil zeggen: bereken het product van alle hele getallen van 1 tot en met n. Opdracht: schrijf de uitkomst als product van precies n getallen, waarbij het kleinste getal zo groot mogelijk is.
Neem je voor n het getal 5, dan schrijf je 120 (= 1 × 2 × 3 × 4 × 5) als volgt: 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Dan is het kleinste getal 2. Beter gaat niet: 120 is niet te schrijven als product van vijf getallen die allemaal groter dan 2 zijn, want met 3 × 3 × 3 × 3 × 3 zit je al op 243.
De stelling-met-verloren-bewijs van Erdös, Straus en Selfridge zegt dat ‘de best mogelijke bovengrens’ voor dit kleinste getal gelijk is aan n gedeeld door e, plus een kleine restterm die verwaarloosbaar is als n heel groot wordt. Het getal e is het beroemde ‘getal van Euler’, dat ongeveer gelijk is aan 2,7. In 2025 werd dit probleem opgelost door een team van zeven wiskundigen, onder wie Terence Tao.
Probleem 792
Probleem 792 werd zestig jaar geleden door Erdös bedacht en gaat over ‘somvrije verzamelingen’. Een verzameling getallen heet ‘somvrij’ als die verzameling geen drietal getallen a, b en c bevat met de eigenschap dat a + b = c. Een verzameling die uit louter oneven getallen bestaat, is bijvoorbeeld somvrij. Als je twee oneven getallen optelt, is het resultaat immers altijd even.
Erdös’ vraag kwam ongeveer neer op het volgende. Als je een willekeurige verzameling getallen hebt, dan is die waarschijnlijk níét somvrij. Hoeveel getallen moet je schrappen, om een somvrije verzameling over te houden? Deze vraag is nog niet voor de volle honderd procent beantwoord, maar in 2025 werd een significante stap gezet, gebruikmakend van een zogeheten ‘Fouriertransformatie’.
Probleem 1026
Op 12 september 2025 voegde Bloom probleem 1026 aan zijn site toe. De eigenlijke formulering oogt abstract, maar je kunt het ook als een spel zien. Iemand heeft een hoop 1-euromunten, maakt daarvan stapeltjes (de hoogtes mogen verschillend zijn) en legt al die stapels naast elkaar. Jij mag een óplopende of áflopende rij stapels kiezen; die munten mag je houden. Hoeveel euro kun je gegarandeerd in je zak steken? Dankzij een combinatie van menselijke en artificiële inspanning weten we nu dat dit bedrag, grofweg, in de orde van grootte van de vierkantswortel van het totale aantal munten ligt.
Op de hoogte van kleine ontdekkingen, wilde theorieën, onverwachte inzichten en alles daar tussenin
Source: NRC